Számrendszerek › Átváltás decimálisból binárisba
9–10. osztály · kiegészítő lecke
Átváltás decimálisból binárisba
Egész számoknál osztással, törtrészeknél szorzással állítod elő a bináris számjegyeket. Minden eredményt vissza is ellenőrzöl.
A lecke végére
- egész számot váltasz kettes számrendszerbe
- meghatározod egy egyszerű törtrész bitjeit
- felismered, ha egy bináris tört nem véges
Amit már tudsz
- kiolvasol bináris számot
- ismered az egész osztást és a maradékot
Egész rész: osztás kettővel
A nemnegatív egész számot ismételten oszd el kettővel, és írd fel az egész hányadost, valamint a maradékot. A következő osztás bemenete a hányados. Akkor állj meg, ha a hányados nulla. A maradékokat alulról felfelé olvasd.
| Osztandó | Egész hányados | Maradék |
|---|---|---|
| 25 | 12 | 1 |
| 12 | 6 | 0 |
| 6 | 3 | 0 |
| 3 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
25₁₀ = 11001₂. Ellenőrzés: 16 + 8 + 1 = 25. A nulla külön esete: 0₁₀ = 0₂.
Tört rész: szorzás kettővel
Szorozd meg a törtrészt kettővel. Jegyezd fel az eredmény egész részét, és a következő lépésben csak az új törtrészt szorozd tovább. A feljegyzett biteket most fentről lefelé olvasd.
| Szorzás | Felírt bit | Új törtrész |
|---|---|---|
| 0,625 × 2 = 1,25 | 1 | 0,25 |
| 0,25 × 2 = 0,5 | 0 | 0,5 |
| 0,5 × 2 = 1 | 1 | 0 |
0,625₁₀ = 0,101₂. A nulla törtrésznél megállhatsz. Vegyes számnál külön váltsd át az egész és a tört részt: 12,5₁₀ = 1100,1₂.
Véges és ismétlődő törtek
A 0,1₁₀ = 0,0001100110011…₂ nem véges bináris tört. Egy kezdeti 0 után a 0011 blokk ismétlődik. Ha korábbi törtrész tér vissza a szorzásokban, a további bitek is ismétlődni fognak.
Véges számú bitre korlátozott ábrázolásnál az ilyen érték közelítésre szorul. Ez a lebegőpontos számításoknál is fontos jelenség.
Gyakorolj visszaellenőrzéssel
Készíts átváltási jegyzetet
Váltsd át a 23, 0,25, 0,75, 0,2 és 156,75 tízes számrendszerű értékeket. A véges eredményeket helyiértékek összeadásával ellenőrizd.
Előbb próbáld meg, utána ellenőrizd
23₁₀ = 10111₂; 0,25₁₀ = 0,01₂; 0,75₁₀ = 0,11₂; 0,2₁₀ = 0,001100110011…₂; 156,75₁₀ = 10011100,11₂.
Az utolsó egész része 128 + 16 + 8 + 4 = 156, törtrésze 0,5 + 0,25 = 0,75.
Második módszer: helyiértékek kivonása
Kisebb számoknál fejben gyorsabb, ha a kettő hatványaiból „építed fel” a számot. Írd fel a helyiértékeket (…, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1), és balról haladva vond le, ami belefér:
| Helyiérték | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Belefér? | igen: 45 − 32 = 13 | nem | igen: 13 − 8 = 5 | igen: 5 − 4 = 1 | nem | igen: 1 − 1 = 0 |
| Bit | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
45₁₀ = 101101₂. A két módszer ugyanazt adja; a maradékos osztás nagy számoknál és programozásban, a kivonásos fejszámolásnál kényelmesebb.
Ellenőrizd a munkádat
Nézd át az átváltási jegyzetedet, és válaszolj a kérdésekre a leírás visszaolvasása nélkül.
- Az egész rész maradékait alulról felfelé olvastad?
- A tört rész bitjeit fentről lefelé olvastad?
- Vegyes számnál külön váltottad át az egész és a tört részt?
- Minden véges eredményt visszaellenőriztél a helyiértékek összeadásával?
- Felismerted, melyik tört nem véges kettes számrendszerben, és miért?
Miért nem véges a 0,1 és a 0,2 kettes számrendszerben?
Egy tört akkor írható fel véges kettedes törtként, ha a legegyszerűbb alakjában a nevező a 2 hatványa (2, 4, 8, 16…). A 0,25 = 1/4 és a 0,625 = 5/8 ilyen, ezért véges. A 0,1 = 1/10 és a 0,2 = 1/5 nevezőjében az 5 is szerepel, ezért a bitek ismétlődnek. Ugyanezért nem véges tízes számrendszerben az 1/3 = 0,333…
A tört rész szorzásánál sokan a teljes szorzatot szorozzák tovább (1,25 × 2). Mindig csak a törtrészt (0,25) szorozd tovább; az egészrész már bitként fel van írva.
Elakadtál a kiolvasással? Ismételd át a bináris számrendszer leckét.