Számrendszerek › Helyiérték és hatvány
9–10. osztály · kiegészítő lecke
Helyiérték és hatvány
Megfigyeled, mitől változik egy számjegy értéke, majd tízes és kettes számrendszerű számokat bontasz helyiértékekre.
A lecke végére
- megkülönbözteted a számjegyet, a helyiértéket és az alaki értéket
- helyesen használod a nulladik és negatív kitevőt
- helyiértékes felbontással ellenőrzöl egy számot
Amit már tudsz
- ismered a tízes számrendszert
- tudod, mit jelent egy szorzat és egy hatvány
Azonos számjegy, különböző érték
A 222 szám három kettest tartalmaz. Alaki értékük azonos, helyiértékük 100, 10 és 1, ezért a tényleges értékük 200, 20 és 2.
A vessző két oldala
A tízes számrendszer alapja 10. A helyiértékek balról jobbra tízzel osztódnak. Az egyesek helyén 10⁰ = 1, utána 10⁻¹ = 0,1 és 10⁻² = 0,01 következik. A negatív kitevő itt törtrészt jelöl, nem negatív értéket.
| Hely | Helyiérték | A 123,21 számjegye | Érték |
|---|---|---|---|
| százas | 10² = 100 | 1 | 100 |
| tízes | 10¹ = 10 | 2 | 20 |
| egyes | 10⁰ = 1 | 3 | 3 |
| tized | 10⁻¹ = 0,1 | 2 | 0,2 |
| század | 10⁻² = 0,01 | 1 | 0,01 |
Összegük: 100 + 20 + 3 + 0,2 + 0,01 = 123,21.
Ugyanez kettes alappal
Kettes számrendszerben a helyiértékek a 2 hatványai, a használható számjegyek 0 és 1. A 101,1₂ felbontása: 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 + 1 × 0,5 = 5,5₁₀.
Számolj és magyarázz
Készíts saját helyiértéktáblát
Bontsd fel a 432,15₁₀ és a 110,01₂ számot. Írd le minden nem nulla számjegy hozzájárulását. Ezután magyarázd el, miért változik az érték, ha egy számjegyet eggyel balra helyezel.
Előbb próbáld meg, utána ellenőrizd
432,15₁₀ = 400 + 30 + 2 + 0,1 + 0,05.
110,01₂ = 4 + 2 + 0 + 0 + 0,25 = 6,25₁₀. Egy pozícióval balra az adott számjegy hozzájárulása az alap szorosára nő.
Egy szabály minden számrendszerre
Bármely b alapú számrendszerben ugyanaz a szabály: minden számjegyet megszorzunk a helyének megfelelő hatvánnyal, és az eredményeket összeadjuk.
Kitekintés: a 16-os (hexadecimális) számrendszerben az A = 10, …, F = 15. Így 2F₁₆ = 2 × 16 + 15 × 1 = 47₁₀. A webes színkódokban (például #FF0000) is ezt látod.
Ellenőrizd a munkádat
Nézd át a helyiértéktábládat, és válaszolj a kérdésekre a leírás visszaolvasása nélkül.
- Meg tudod különböztetni egy számjegy alaki értékét, helyiértékét és tényleges értékét?
- Az egyesek helyén mindkét számrendszerben a 0. hatvány (= 1) áll?
- A kettes számrendszerben a vessző után 0,5 és 0,25 következik, nem 0,1 és 0,01?
- A felbontásaid összege visszaadja az eredeti számot?
- El tudod magyarázni, miért alap-szorosára nő egy számjegy értéke, ha egy hellyel balra kerül?
A nulladik hatványt sokan 0-nak gondolják. Pedig bármely nem nulla szám nulladik hatványa 1: 10⁰ = 1 és 2⁰ = 1. Ezért van az egyesek helyén mindig 1 a helyiérték.
Ha a helyiértékek már mennek, folytasd a bináris számrendszer leckével.