A tízes számrendszerben a kivonást jobbról balra haladva, helyiértékenként végezzük.
Ha a kisebbítendő számjegy nagyobb vagy egyenlő a kivonandóval, egyszerűen elvégezzük a műveletet.
Ha azonban a kivonandó nagyobb, kölcsön kell kérnünk egyet a következő helyiértékről — ezt nevezzük kölcsönvételnek (borrow).

A tízes számrendszerben a helyiértékek 10-es hatványai szerint csökkennek balról jobbra haladva.
Amikor két számot kivonunk, jobbról balra haladunk.
Ha egy adott helyiértéken a kisebbítendő számjegy kisebb, mint a kivonandó számjegy, akkor kölcsönzünk („borrow”) a következő helyiértékből.

A „kölcsönvétel” során az adott helyiértéken 10-et hozzáadunk az aktuális számhoz, a balra lévő helyiértéken pedig 1-gyel csökkentjük az ottani számjegyet.

Ahol a felső szám kisebb az alsónál, ott kölcsönzést végzünk. Az ábra alján a kis nyíl jelzi, honnan „vettünk át” 1-et. Így kapjuk meg helyesen az eredményt: 1815.59

Most, hogy a decimális összeadás menetét már értjük, nézzük, hogyan működik ugyanez a bináris számrendszerben — ahol csak 0 és 1 létezhet.

​

Mi történik pontosan?

1. oszlop (1-es helyiérték)

• Művelet: 0 − 1 → 10 − 1

• Mi történik: A kisebbítendő (felső szám) utolsó bitje 0, a kivonandó (alsó) 1.
  0-ból nem tudunk 1-et kivonni, ezért kölcsön kell kérnünk a bal oldali (2-es helyiértékű) bitből.
  A balról érkező 1 binárisan 10₂-nek felel meg → így a művelet 10 − 1 = 1.

• Leírjuk: 1

• Kölcsönzünk: ✅ Igen, mert a 0-ból nem tudtunk kivonni.

2. oszlop (2-es helyiérték)

• Művelet: (0 − előző kölcsön) − 0 → 10 − 1

• Mi történik: Eredetileg 0 volt ezen a helyen, de az előző oszlopból elvettünk 1-et, így most még kevesebb maradt — gyakorlatilag „−1” állapotban vagyunk.
  Itt is kölcsön kell kérnünk a következő (4-es) helyiértékből.
  A kölcsön után 10 − 1 = 1.

• Leírjuk: 1

• Kölcsönzünk: ✅ Igen, tovább kellett adni.

3. oszlop (4-es helyiérték)

• 0 − 1 → nem megy → kölcsön kell a 8-as helyiértékből

• De! már csökkentett értékkel indult, tehát a végeredmény 0 lesz
  ❌ leírjuk: 0

4. oszlop (8-as helyiérték)

• 0 − 0, de kölcsönzött innen a 4-es → marad −1, ezért újra kölcsön a 16-osból

• 10 − 1 = 1
  ✅ leírjuk: 1

5. oszlop (16-os helyiérték)

• 1 − (kölcsön) = 0
  ✅ leírjuk: 0

1. feladat: 10000₂ − 00101₂

​

​

​

A tízes számrendszer a mindennapok alapja – minden szám, amit leírunk vagy kimondunk, ennek a rendszernek az eleme.
Itt minden helyiérték a tíz hatványaival növekszik:
egyesek, tízesek, százasok, ezresek és így tovább.

Amikor két számot összeadunk, jobbról balra haladunk, mindig az egyesek helyiértékétől kezdve.
Ha az adott oszlopban (helyiértéken) az összeg több mint 9, akkor a „tízeseket” átvisszük (carry) a következő, balra eső helyiértékre.
Ez az átvitel ugyanaz a logika, amit majd a bináris összeadásnál is látni fogunk – csak ott 2 lesz a határ, nem 10.

Példa:

1827.37 + 3642.96 = 5470.33

Lépésenként így működik:

Az utolsó oszlopban: 7 + 6 = 13 → leírjuk a 3-at, és 1-et viszünk át.

A tizedeseknél: 3 + 9 + 1 = 13 → leírjuk a 3-at, viszünk 1-et.

Az egyeseknél: 7 + 2 + 1 = 10 → leírjuk a 0-t, viszünk 1-et.

Tizeseknél 2 + 4 + 1 = 7 → leírjuk a hetet, nem viszünk semmit. 

A százaknál: 8 + 6 = 14 → leírjuk az 4-et, viszünk 1-et a következő oszlopba.

Végül a legbaloldali oszlopban: 1 + 3 + 1 = 5 → leírjuk az 5-öt, már nincs mit továbbvinni.

Így kapjuk meg az eredményt: 5470.33

Most, hogy a decimális összeadás menetét már értjük, nézzük, hogyan működik ugyanez a bináris számrendszerben — ahol csak 0 és 1 létezhet.

Bináris összeadás elmélete

A bináris (kettes) számrendszer alapja a 2, tehát minden helyiérték kétszerese az előzőnek:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…

Összeadásnál itt is helyiértékenként dolgozunk, de mivel csak 0 és 1 létezik, a lehetséges eredmények nagyon egyszerűek:

​

A kettes számrendszerben csak 0 és 1 van, a „határ” 2.
Ha egy oszlopban az összeg eléri a 2-t, 0-t írunk le és 1-et viszünk tovább (mint tízesnél a 10, csak itt a „bázis” 2).

Haladjunk jobbról balra:
1-es helyiérték: 1 + 1 = 10₂ → leírjuk 0, 1-et visszük a 2-es helyiértékhez.

2-es helyiérték: 1 (carry) + 1 + 0 = 10₂ → leírjuk 0, 1-et visszük a 4-eshez.

4-es helyiérték: 1 (carry) + 0 + 1 = 10₂ → leírjuk 0, 1-et visszük a 8-ashoz.

8-as helyiérték: 1 (carry) + 1 + 1 = 11₂ → leírjuk 1, 1-et visszük a következő (16-os) új helyiértékhez.

A bal szélen az átvitelből létrejön egy új 1-es bit → így kapjuk meg a végeredményt:  11000₂.

1. feladat: 10101₂ + 1110₂

​

​

​

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan lehet decimálisból binárisba átváltani egy számot lépésről lépésre. Megmutatom, miért használják a gépek ezt a rendszert, és hogyan lehet gyorsan átlátni a váltást számológép nélkül is.
Készülj, mert most tényleg belenézünk a számok mögé.

A decimálisból bináris számrendszerbe való átváltás lényege, hogy a számot kettővel osztogatjuk, amíg el nem jutunk a nulláig.
Minden osztásnál megjegyezzük a maradékot — ezekből a maradékokból fog összeállni a bináris szám visszafelé olvasva.

🧮 Példa: alakítsuk át a 25₁₀ számot binárisba

Alapelv 

Szabály: a tört részt (0.xxx) mindig 2-vel szorozzuk, és feljegyezzük az egészrészt (0 vagy 1).
A kapott új tört részt megint 2-vel szorozzuk… és így tovább.
A bináris törtrész a feljegyzett egészrészek sorrendben egymás után.

Példa 1 – 0,625₁₀ → ?₂

1. 0,625×2 = 1,25 → egészrész 1, maradék 0,25
2. 0,25×2 = 0,5 → egészrész 0, maradék 0,5
3. 0,5×2 = 1,0 → egészrész 1, maradék 0 (vége)

Eredmény: 0,101₂

Példa 2 – 0,375₁₀ → ?₂

1. 0,375×2 = 0,75 → egész 0, maradék 0,75
2. 0,75×2 = 1,5 → egész 1, maradék 0,5
3. 0,5×2 = 1,0 → egész 1, maradék 0

Eredmény: 0,011₂

Példa 3 – 0,1₁₀ → ?₂ (végtelen ismétlődés!)

1. 0,1×2=0,2 → 0
2. 0,2×2=0,4 → 0
3, 0,4×2=0,8 → 0
4. 0,8×2=1,6 → 1 (marad 0,6)
5. 0,6×2=1,2 → 1 (0,2)
… és visszajutunk 0,2-hez, tehát ismétlődik.

Eredmény: 0,**0001100110011…**₂ (a „0011” blokk periodikusan ismétlődik)

Vegyes szám 

12,5₁₀ → ?₂
12 → 1100₂, 0,5 → 0,1₂ ⇒ 1100.1₂

​

1. feladat 0,25₁₀ = ?₂

​

​

​