Információs technológia
Bináris összeadás
Az összeadás az egyik legalapvetőbb művelet – a számítógépek is ezt tanulják meg először.
Míg mi tízes számrendszerben (p = 10) gondolkodunk, addig a gépek csak két számjegyet ismernek: 0-t és 1-et.
Ezért minden számítógépes művelet – akár képet nézel, akár videót játszol le – a háttérben bináris összeadások és kivonások sokaságából áll.
De mielőtt megnéznénk, hogyan ad össze a gép, gyorsan nézzük meg, mi történik decimális (tízes) rendszerben.
Decimális összeadás - amit már jól ismersz
A tízes számrendszer a mindennapok alapja – minden szám, amit leírunk vagy kimondunk, ennek a rendszernek az eleme.
Itt minden helyiérték a tíz hatványaival növekszik:
egyesek, tízesek, százasok, ezresek és így tovább.
Amikor két számot összeadunk, jobbról balra haladunk, mindig az egyesek helyiértékétől kezdve.
Ha az adott oszlopban (helyiértéken) az összeg több mint 9, akkor a „tízeseket” átvisszük (carry) a következő, balra eső helyiértékre.
Ez az átvitel ugyanaz a logika, amit majd a bináris összeadásnál is látni fogunk – csak ott 2 lesz a határ, nem 10.
Decimális összeadás – 1827.37 + 3642.96 = 5470.33
Példa:
1827.37 + 3642.96 = 5470.33
Lépésenként így működik:
Az utolsó oszlopban: 7 + 6 = 13 → leírjuk a 3-at, és 1-et viszünk át.
A tizedeseknél: 3 + 9 + 1 = 13 → leírjuk a 3-at, viszünk 1-et.
Az egyeseknél: 7 + 2 + 1 = 10 → leírjuk a 0-t, viszünk 1-et.
Tizeseknél 2 + 4 + 1 = 7 → leírjuk a hetet, nem viszünk semmit.
A százaknál: 8 + 6 = 14 → leírjuk az 4-et, viszünk 1-et a következő oszlopba.
Végül a legbaloldali oszlopban: 1 + 3 + 1 = 5 → leírjuk az 5-öt, már nincs mit továbbvinni.
Így kapjuk meg az eredményt: 5470.33
Bináris összeadás
Most, hogy a decimális összeadás menetét már értjük, nézzük, hogyan működik ugyanez a bináris számrendszerben — ahol csak 0 és 1 létezhet.
Bináris összeadás elmélete
A bináris (kettes) számrendszer alapja a 2, tehát minden helyiérték kétszerese az előzőnek:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…
Összeadásnál itt is helyiértékenként dolgozunk, de mivel csak 0 és 1 létezik, a lehetséges eredmények nagyon egyszerűek:
Bináris összeadás – 1011₂ + 1101₂ = 11000₂
Bináris összeadás – lépésenként (1011₂ + 1101₂)
| Oszlop | Művelet | Eredmény (binárisan) | Leírjuk | Átvisszük |
|---|---|---|---|---|
| 1. (jobbról) | 1 + 1 | 10 | 0 | 1 |
| 2. | 1 + 0 + 1 | 10 | 0 | 1 |
| 3. | 0 + 1 + 1 | 10 | 0 | 1 |
| 4. (bal szélső) | 1 + 1 + 1 | 11 | 1 | 1 |
Összeg: 11000₂ (mert az utolsó oszlopból érkező átvitel új, bal szélső bitet ad). Ellenőrzés: 1011₂=11₁₀, 1101₂=13₁₀ → 11+13=24₁₀ = 11000₂.
A kettes számrendszerben csak 0 és 1 van, a „határ” 2.
Ha egy oszlopban az összeg eléri a 2-t, 0-t írunk le és 1-et viszünk tovább (mint tízesnél a 10, csak itt a „bázis” 2).
Haladjunk jobbról balra:
1-es helyiérték: 1 + 1 = 10₂ → leírjuk 0, 1-et visszük a 2-es helyiértékhez.
2-es helyiérték: 1 (carry) + 1 + 0 = 10₂ → leírjuk 0, 1-et visszük a 4-eshez.
4-es helyiérték: 1 (carry) + 0 + 1 = 10₂ → leírjuk 0, 1-et visszük a 8-ashoz.
8-as helyiérték: 1 (carry) + 1 + 1 = 11₂ → leírjuk 1, 1-et visszük a következő (16-os) új helyiértékhez.
A bal szélen az átvitelből létrejön egy új 1-es bit → így kapjuk meg a végeredményt: 11000₂.
Gyakoroljunk: bináris összeadásokat
1. feladat: 10101₂ + 1110₂
Megoldás
✅ Eredmény: 100011₂
10101₂ (=21₁₀) + 1110₂ (=14₁₀) = 35₁₀ = 100011₂
Megoldás
✅ Eredmény: 1001100₂
55₁₀ + 21₁₀ = 76₁₀
Megoldás
✅ Eredmény: 1101.00₂
Tört rész: .11 + .01 = 1.00 → átvitel 1
Egész rész: 1001 + 11 + 1 = 1101
9.75₁₀ + 3.25₁₀ = 13.0₁₀
Megoldás
✅ Eredmény: 1110.000₂
Tört rész: .001 + .111 = 1.000 → átvitel 1
Egész rész: 1010 + 11 + 1 = 1110
10.125₁₀ + 3.875₁₀ = 14.0₁₀
Megoldás
✅ Eredmény: 111010₂
29₁₀ + 29₁₀ = 58₁₀
Megoldás
✅ Eredmény: 100000110₂
141₁₀ + 121₁₀ = 262₁₀
Ha szeretnéd folytatni a tanulást, itt válogathatsz az információs technológia anyagok között
Fixpontos számrendszerek
A számítógépek világa tele van különleges logikával – és a fixpontos számrendszerek pont egy olyan téma, ami elsőre bonyolultnak tűnhet, de valójában nagyon izgalmas!Ebben a leckében anime-lány kalauzunk segít megérteni, hogyan működnek ezek a rendszerek: mit jelent a...
Előjeles kettes komplemens
Az előző leckében már megtanultuk, hogyan működik a 2’s komplemens,és azt is láttuk, hogy ez a módszer teszi lehetővé, hogy a számítógép kivonást is összeadással tudjon elvégezni.(Aki lemaradt róla, itt tudja bepótolni 👉 Kettes komplemens – avagy hogyan gondolkodik a...
1’s komplemens – így fordítja meg a gép a biteket
Képzeld el, hogy a számítógép minden 0-t 1-re, és minden 1-et 0-ra cserél — ez az 1’s komplemens varázsa. 💡Ezzel a trükkel a gép a negatív számokat is el tudja tárolni anélkül, hogy külön „mínuszjelet” használná.A mai leckében anime-lányunk megmutatja, hogyan...