Ezeket a szabályokat használjuk arra, hogy:

• bonyolult halmazkifejezéseket egyszerűbbre alakítsunk,

• vagy bizonyítsuk, hogy két halmazkifejezés ugyanazt jelenti. Végigmegyünk a legfontosabb halmazazonosságokon, mindegyikhez adunk hétköznapi magyarázatot, konkrét kis elemszámú példát és ha kell, Venn-diagramot is, hogy vizuálisan is összeálljon. 

A cél az, hogy a „halmazazonosságok” ne egy bemagolandó lista legyen, hanem egy eszköztár, amit magabiztosan tudsz használni példákban és a vizsgán is.

Matematikai értelemben

Egy művelet idempotens, ha bármely elemre igaz, hogy a ∘ a = a.
Vagyis ha önmagával elvégzel egy műveletet, akkor az eredmény ugyanaz marad. Nekünk halmazszinten annyi kell most belőle, hogy A ∩ A = A és A ∪ A = A

A metszet és az unió is idempontens művelet, mert ha egy halmazt saját magával metszel, nem lesz kevesebb vagy több, ugyanaz marad. 
Ha egy halmazt saját magával veszel unióba, nem kapsz új elemet, ugyanaz marad. 

Példa: A = {1; 2; 3}

• A ∩ A = {1; 2; 3} = A

• A ∪ A = {1; 2; 3} = A

A metszetben csak olyan elem maradhat, ami mindkét oldalon benne van – ha a két oldal ugyanaz, akkor minden elemet „visszakapunk”;

Az unióba minden elem bekerül, ami bármelyik oldalon benne van – ha mindkét oldalon ugyanazok vannak, akkor sincs több.

Ezt hívják idempotencia tételnek halmazműveletekre:
A ∩ A = A
A ∪ A = A

Idempotencia az informatikában

Ugyanezt a gondolatot viszik tovább az infóban is: Egy művelet/idempotens API-hívás → ha többször lefuttatod, ugyanaz az eredmény, mintha egyszer futtattad volna.

Halmazazonosságok: Kommutativitás

Kommutativitás a halmazoknál

A halmazműveleteknél két fontos művelet is kommutatív: 
1. a metszet: A ∩ B = B ∩ A
Ami A-nak és B-nek közös eleme, az akkor is ugyanaz, ha A ∩ B-t írunk vagy B ∩ A-t.

2. Unió: A ∪ B = B ∪ A
Mindegy, hogy ha összerakod A és B elemeit, melyiket írod le, ugyanaz lesz a végeredmény. 

Konkrét példa:

A = {1; 2; 3}
B = {3; 4}

• Metszet:

  • A ∩ B = {3}

  • B ∩ A = {3}

• Unió:

  • A ∪ B = {1; 2; 3; 4}

  • B ∪ A = {1; 2; 3; 4}

Mindkét esetben ugyanarra a halmazra jutunk, hiába cseréljük fel A-t és B-t → ezért mondjuk, hogy az unió és a metszet kommutatív műveletek.

Halmazazonosságok: Asszociativitás

Asszociativitás halmazoknál 

Halmazműveleteknél is van két alap azonosság: az unió és a metszet asszociatív. Formálisan: 

• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Ha több halmazt metszenél / egyesítenél, mindegy, melyik kettőt fogod össze először, a végeredmény ugyanaz lesz. 

Példa: 

Legyen:

• A = {1; 2; 3}

• B = {2; 3; 4}

• C = {3; 4; 5}

Metszet:

Bal oldal:

• A ∩ B = {2; 3}

• (A ∩ B) ∩ C = {2; 3} ∩ {3; 4; 5} = {3}

Jobb oldal:

• B ∩ C = {3; 4}

• A ∩ (B ∩ C) = {1; 2; 3} ∩ {3; 4} = {3}

Mindkét oldalon {3} → a metszet asszociatív.

Mit nyerünk ezzel?

Ha sok halmaz szerepel egy kifejezésben, az asszociativitás azt mondja:

• nem kell a zárójeleken parázni,

• nyugodtan átírhatod úgy, ahogy áttekinthetőbb,

• a végeredmény nem fog megváltozni.

Ez a vizsgákon azért jó, mert egy bonyolult kifejezést át tudsz rendezni egy „szebb”, könnyebben kezelhető formára.

Feladat: 

Legyenek:

• A = {1; 2}

• B = {2; 3}

• C = {2; 3; 4}

Számold ki gyorsan fejben (vagy leírva):
(A ∪ B) ∪ C
A ∪ (B ∪ C)

Halmazazonosságok: Abszorpció

(A ∪ B) ∩ A = A 

(A ∪ B) minden, ami A-ban vagy B-ben benne van. Aztán ∩ A, azaz ebből megtartjuk csak azokat, amik A-ban is benne vannak, így csak azok maradnak, amik A-s elemek, azaz maga az A.  

Példa: 

A = {1; 2; 3}
B = {2; 4}

A ∪ B = {1; 2; 3; 4}
(A ∪ B) ∩ A = {1; 2; 3; 4} ∩ {1; 2; 3} = {1; 2; 3} = A

(A ∩ B) ∪ A = A

(A ∩ B): csak azok, amik mind a kettőben benne vannak. Aztán ∪ A: ezt egyesítjük A-val. De az A metszet B elemei már eleve A-ban vannak, hiszen közösek. Tehát, amikor uniót veszel A-val, nem kapsz új elemet, csak A marad. 

Példa:

A = {1; 2; 3}
B = {2; 3; 4}

A ∩ B = {2; 3}
(A ∩ B) ∪ A = {2; 3} ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3} = A

Ezért mondjuk, hogy A „elnyeli” B-t: ha A már benne van a kifejezésben, a másik halmaz nem tudja kimozdítani.

Feladat:

Legyen:

• A = {1; 2}

• B = {2; 3; 4}

Számold ki:

$(A ∩ B) ∪ A = ?$

Halmazazonosságok: disztributivitás

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Olvasat – bal oldal:

• A ∪ B – minden, ami A-ban vagy B-ben benne van;

• utána ∩ C – ebből megtartjuk azokat, amik C-ben is benne vannak.

Olvasat – jobb oldal: 

• A ∩ C – elemek, amik A-ban is és C-ben is benne vannak;

• B ∩ C – elemek, amik B-ben is és C-ben is benne vannak;

• ezek uniója: (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) – azok, amik A-val és C-vel közösek, vagy B-vel és C-vel közösek

Ugyanazt mondjuk kétféleképpen: 
1. először egyesítem A-t és B-t, majd lemetszem C-vel
2. C-vel külön-külön metszem A-t és B-t, aztán ami kijött azt egyesítem. 

Legyen: 

• A = {1; 2; 3}

• B = {2; 4}

• C = {2; 3; 5}

Bal oldal:

• A ∪ B = {1; 2; 3; 4}

• (A ∪ B) ∩ C = {1; 2; 3; 4} ∩ {2; 3; 5} = {2; 3}

Jobb oldal:

• A ∩ C = {1; 2; 3} ∩ {2; 3; 5} = {2; 3}

• B ∩ C = {2; 4} ∩ {2; 3; 5} = {2}

• (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = {2; 3} ∪ {2} = {2; 3}

Mindkét oldalon {2; 3} → az azonosság működik.

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Itt az unió szétosztható a metszett felett. 

Olvasat – bal oldal 

• A ∩ B – közös elemek A-ban és B-ben;

• utána ∪ C – ehhez hozzáadjuk C minden elemét.

Olvasat – jobb oldal

• A ∪ C – ami A-ban vagy C-ben van;

• B ∪ C – ami B-ben vagy C-ben van;

• ezek metszete: (A ∪ C) ∩ (B ∪ C): ami mindkettőben szerepel.

Konkrét példa: 

A = {1; 2; 3}
B = {2; 4}
C = {2; 3; 5}

Bal oldal:

• A ∩ B = {2}

• (A ∩ B) ∪ C = {2} ∪ {2; 3; 5} = {2; 3; 5}

Jobb oldal:

• A ∪ C = {1; 2; 3; 5}

• B ∪ C = {2; 3; 4; 5}

• (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = {1; 2; 3; 5} ∩ {2; 3; 4; 5} = {2; 3; 5}

Megint ugyanaz a halmaz → az unió is disztributív a metszet felett.

Feladat: 

Legyenek:

• A = {1; 2}

• B = {2; 3}

• C = {2; 4}

 Számold ki: (A∪B)∩C, majd (A∩C)∪(B∩C). Egyenlőek? 

Az első leckében megnéztük, mi az a halmaz, mit jelent az, hogy részhalmaz, üres halmaz, hatványhalmaz, intervallum… Most szintet lépünk: jönnek a halmazműveletek.

A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy nem csak egy halmazt nézünk, hanem kettőt (vagy többet), és azt vizsgáljuk, hogyan lehet őket „összekeverni”:

• mik azok az elemek, amelyek legalább az egyikben benne vannak,

• mik azok, amelyek mindkettőben,

• mik maradnak meg, ha az egyiket a másikból „kivonjuk”,

• és mit jelent az, hogy egy halmaz komplementere vagy szimmetrikus különbsége a másikkal.

Ebben a leckében végigmegyünk az alap műveleteken halmazokkal – unió, metszet, különbség, komplementer, szimmetrikus különbség – és mindegyiket:

• megnézzük jelöléssel (A ∪ B, A ∩ B, A \ B…),

• adunk hozzá konkrét példát,

• és Venn-diagrammal is ábrázoljuk, hogy vizuálisan is összeálljon.

A halmazműveletek térképe

A halmazműveleteket nem csak jelekkel (A ∪ B, A ∩ B, A \ B…) lehet leírni, hanem nagyon szépen ábrázolhatjuk őket Venn-diagrammal is. Ez tulajdonképpen egy kis rajz arról, hogy mely elemek hova tartoznak.

Alap elemei:

• egy téglalap: ez jelöli az univerzális halmazt (U), vagyis „minden elemet, ami szóba jöhet”;

• a téglalapon belül körök:

  • az egyik kör az A halmaz,

  • a másik kör a B halmaz,

  • ha átfedik egymást, akkor a közös részük az A ∩ B (metszet),

  • a teljes két kör együtt az A ∪ B (unió).

Amikor halmazműveleteket ábrázolunk, a Venn-diagramon beszínezzük azt a részt, ami az adott kifejezéshez tartozik:

• ha unióról van szó, az A és B összes részét satírozzuk;

• ha metszetről, akkor csak az átfedés középső része lesz színezve;

• ha különbségről, akkor A-nak csak azt a részét satírozzuk, ami nem közös B-vel;

• komplementernél az U téglalap összes olyan részét, ami nem az adott halmazban van.

A Venn-diagram így egy vizuális „térkép” lesz, amelyen könnyen leolvasható, hogy az egyes halmazműveletek mit jelentenek. A későbbi feladatoknál a Venn-diagram nagy segítség: nem csak fejből kell kitalálnod, hogy egy elem benne van-e a kifejezésben (például A ∩ (B \ C)), elég végiggondolni, mely részek színeződnek ki az ábrán.

Tehát ha egy elem benne van A-ban, vagy benne van B-ben, vagy benne van mindkettőben, akkor biztosan benne lesz az A ∪ B unióban.

Példa: A = {1; 2; 3} és B = {3; 4; 5}
A két halmaz uniója: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}

Minden elem, ami A-ban volt és minden elem, ami B-ben volt, egyszer szerepel az unióban. A 3 mind a kettőben volt, de csak egyszer írjuk le. 

Példa2: A = {a; b; c} és B = {d; d} 
A két halmaz uniója: A ∪ B = {a; b; c; d}. Újra, minden ami A-ban és B-ben előfordult, az egyszer belekerül az A ∪ B halmazba.

Venn diagrammon: Bal kör: A, jobb kör: B. Középen fedik egymást. Ha az A ∪ B-t ábrázoljuk, akkor a teljes bal, teljes jobb kört beszínezzük és a középső részt is. 

Az unió tulajdonságai: 

• A ∪ B = B ∪ A  → az unió kommutatív (csereberélheted a sorrendet)

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)  → asszociatív

• A ∪ A = A  → ha önmagaddal veszel uniót, nem lesz „több” elem

• A ∪ ∅ = A  → az üres halmaz nem ad hozzá semmit az unióhoz

Feladat: 

Legyenek a következő halmazok: A = {1; 3; 5; 7} és B = {3; 4; 7; 8}. Mi lesz az A ∪ B = ??

Halmazok metszete A ∩ B

Venn diagram

A szokásos két körös ábra: bal kör: A, jobb kör: B. Haz az A ∩ B-t ábrázoljuk, akkor csak a középső, egymást fedő részt satírozzuk be. Ez jelzi, hogy ide azok az elemek tartoznak, amelyek egyszerre vannak A-ban és B-ben is. 

A metszet tulajdonságai

• A ∩ B = B ∩ A  → a metszet kommutatív

• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)  → asszociatív

• A ∩ A = A  → ha önmagaddal metszenéd, nem lesz kevesebb

• A ∩ ∅ = ∅  → az üres halmaz semmivel sem „metsz” semmit

 Feladat: Szerinted igaz., hogy A ∩ B mindig részhalmaza A ∪ B-nek?

Halmazok különbsége – A \ B

Nézzük sorban az A elemeit:

• 1 → A-ban benne van, B-ben nincs → marad

• 3 → A-ban benne van, B-ben is benne van → kiesik

• 5 → A-ban benne van, B-ben nincs → marad

• 7 → A-ban benne van, B-ben is benne van → kiesik

Tehát: A \ B = {1; 5} Ha a másik irányt nézzük: B\A = {4; 8}. Ebből is látszik, hogy A\B és B\A általában nem ugyanaz. 

• A \ ∅ = A

• A \ A = ∅

• Általában: A \ B ≠ B \ A

Mikor ugyanaz? 

Ha A = B-vel, akkor A\B = ∅ és B\A = ∅

Venn-diagram:

Szokásos két kör: bal kör – A, jobb kör – B. Ha az A\B különbségét ábrázoljuk, akkor csak az A bal oldali részét satírozzuk, a középső, közös részt, az A ∩ B-t nem színezzük és a B külön jobb oldali része sem része az A\B-nek. 

Feladat:

• A = {1; 3; 5; 7}

• B = {3; 4; 7; 8}

Már tudjuk:

• A ∪ B = {1; 3; 4; 5; 7; 8}

• A ∩ B = {3; 7}

• A \ B = {1; 5}

A kérdés: mi a B\A?

Komplementer – Ᾱ

Példa: legyen most U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
és

• A = {1; 3; 5; 7}

A komplementere (Ᾱ):

U-ban: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
A-ban: 1; 3; 5; 7. Ami U-ban van, de A-ban nincs: 2; 4; 6; 8
Ᾱ = {2 ;4; 6; 8}

Venn-diagram

Téglalap = U
Kör = A

Ha a komplementert ábrázolod, akkor az A körön kivüli részt színezd be a téglalapban, a kör belseje nincs beszínezve. Ez mutatja, hogy minden, ami nem A. 

Tulajdonságai: 

• Ᾱ̄ = A  → ha kétszer veszel komplementert, visszajutsz A-hoz

• ∅̄ = U  → az üres halmaz komplementere az egész univerzum

• Ū = ∅  → az univerzum komplementere az üres halmaz

• A ∪ Ᾱ = U

• A ∩ Ᾱ = ∅

Feladat:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {2; 4; 6}

Szerinted mi Ᾱ ebben az univerzumban?

Szimmetrikus különbség – A △ B

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = {1; 5} ∪ {4; 8} = {1; 4; 5; 8}

Venn-diagram

Két kör (A és B), a középső átfedés nincs beszínezve, csak a két félhold rész: Az A bal oldali része (A\B) és a B jobb oldali része (B\A). Ez mutatja, hogy csak ami az egyikben van, de nem közös. 

Tulajdonságai: 

1. Kommutatív: A △ B = B △ A. Teljesen mindegy, melyik oldalra írod az A-t és a B-t
2. Asszociatív: (A △ B) △ C = A △ (B △ C)
3. Az üres halmaz nem változtat semmin: A △ ∅ = A
4. Inverz önmagával: A △ A = ∅. Ha egy halmazt saját magával teszed szimmetrikus különbségbe, akkor minden közös, tehát minden kiesik. 
5. Kapcsolata az unióval és a metszettel: A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Összefoglaló feladat

Legyen az univerzális halmaz:
U={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
A = {1; 3; 4; 7}
B = {2; 3; 5; 7}
Számítsd ki az alábbi halmazokat:

1. A ∪ B
2. A ∩ B
3. A \ B
4. B \ A
5. Ā (A komplementere U-ban)
6. B̄ (B komplementere U-ban)
7. A △ B (A és B szimmetrikus különbsége)

• Bónusz kérdés:
  Igaz-e, hogy (A ∩ B) ⊆ (A ∪ B)? Indokold röviden!