Halmazelmélet alapok lépésről lépésre

Halmaz: olyan csoport, amelyben az egymáshoz tartozó (azonos szempont alapján kiválasztott) elemeket gyűjtjük össze.
Például: a hónapok nevei egy halmazt alkotnak:

H = {január; február; …; december}

Matekon leggyakrabban számhalmazokkal dolgozunk.
Jelölés:
A = {1; 2; 3}
Itt az A a halmaz neve (mindig nagybetűvel jelöljük), a kapcsos zárójelek között vannak a halmaz elemei.

Halmazok egyenlősége

Két halmaz egyenlő, ha pontosan ugyanazok az elemek vannak bennük. 

Példa:

A = {1; 2; 3} és B = {1, 2, 3} ekkor A = B 

A sorrend nem számít, a lényeg, hogy ugyanazok az elemek szerepeljenek benne. 

Részhalmaz

Ha egy halmaz minden eleme benne van egy másik halmazban, akkor részhalmazról beszélünk

Példa:

A = {1; 2; 3} és C = {1, 3}  

Mivel a C minden eleme benne van az A halmazban: C ⊆ A 
Fordítva viszont nem igaz: A ⊄ C

Valódi részhalmaz

Legyen: 
A = {1; 2}
B = {1}
C = {1; 2}

B valódi részhalmaza A-nak, mert B minden eleme benne van A-ban, de B ≠ A. Tehát a  B ⊆ A és mivel valódi részhalmaz, B ⊂ A
C nem valódi részhalmaza A-nak, mert egyenlő vele. C ⊆ A, mert minden eleme megvan A-ban, de C ⊂ A nem igaz, mert nem valódi részhalmaz, hiszen C = A-val. 

• Minden halmaz részhalmaza önmagának: A ⊆ A

• De nem valódi részhalmaza önmagának, mert A nem „kisebb” A-nál: A ⊄ A

• A valódi részhalmaznál mindig „kevesebb” elem van, mint az eredeti halmazban:

  • Ha B ⊂ A, akkor |B| < |A|

Üreshalmaz

Az a halmaz, melynek egyetlen eleme sincs: D = {} vagy D = ∅

Fontos: az üres halmazban a 0 sincs benne, mert egyáltalán nincs eleme. Az üres halmaz minden halmaznak a részhalmaza: ∅ ⊆ A (bármilyen A halmazra igaz).

Véges és végtelen halmaz, számosság

 Véges halmaz: meg tudjuk mondani, hány eleme van. Példa: A = {1; 2; 3} -> 3 eleme van.

A halmaz elemszámát számosságnak nevezzük, jele |A|
Példa: ha A = {1; 2; 3} akkor |A| = 3

Végtelen halmaz: nincs „utolsó” eleme. Például, az egész számok halmaza: Z = {…; -2; -1; 0; 1; 2; …}

Megszámlálhatóan és megszámlálhatatlanul végtelen halmazok

Megszámlálhatóan végtelen halmaz: olyan végtelen halmaz, amelynek elemei sorba rendezhetők úgy, hogy mindegyik kap egy 1, 2, 3, … természetes számú sorszámot (felsorolhatók egy sorozat elemeiként)

• van első elem: a₁

• van második elem: a₂

• van harmadik: a₃

• és így tovább…

…és minden elem pontosan egyszer szerepel ebben a listában.

Megszámlálhatatlanul végtelen halmaz: nincs olyan felsorolás, ahol minden elemet be tudnánk sorszámozni. Hiába írsz listát, mindig maradnak ki elemek a halmazból. Példa: a valós számok halmaza. Már az 1 és 2 közötti szakasz is ilyen, az (1;2) interallumban végtelen sok szám van, bármilyen listát írsz, mindig lehet mutatni egy új számot 1 és 2 között, ami nincs rajta a listán:  

• 1,1

• 1,11

• 1,111 stb.

Intervallum = két szám közötti számok halmaza a számegyenesen. Jelölése: számegyenesen teli karika és üres karika

Zárt intervallum:

A teli karika jelentése: bent van az intervallumban, egyéb jelölése a szögletes zárójel: [-1; 1]

Nyílt intervallum:

Számegyenesen üres karikával jelöljük, egyébként pedig nyitott szögletes zárójellel: ] -1; 1 [
A -1 és az 1 nincs benne most az intervallumban. 

Vegyes intervallum: amelynek egyik vége zárt, másik nyitott, pl.: ]-1; 1] – a -1 nincs az intervallumban, az egy benne van

Végtelen intervallumoknál a végtelen jeleket mindig nyitott zárójellel írjuk, mert a végtelen nem valódi szám, nem lehet benne az intervallumban:
]0; +∞[ – a 0-nál nagyobb számok halmaza
]-∞; 2] – a 2-nél kisebb vagy egyenlő számok halmaza

Függvényhalmaz

A függvényhalmaznál a halmaz elemei maguk a függvények. Tehát nem azt mondjuk, hogy A = {1; 2; 3} hanem F = (f; g; h).
Elméletben a függvény nem más, mint rendezett párok halmaza:
f = {(x; y} párok, ahol y = f(x)}
Ilyenkor a függvény maga is egy halmaz, ezért tudunk függvényhalmazokról beszélni.
Példa:
Ha f(x) = 2x, akkor f = {(x; 2x) | x valós szám}

Értelmezési tartomány (D)

azoknak az x-eknek a halmaza, melyekre a függvényt értelmezni tudjuk. Példa: f(x) = √x
Itt csak a nullánál nagyobb vagy egyenlő számokból tudunk négyzetgyököt vonni (valós számkörben), ezért D = [0; +∞[

Értékkészlet (É)

Azoknak az y-oknak a halmaza, melyeket a függvény felvesz

f(x) = √x, D = [0; +∞[

x ≥ 0 esetén a √x sem lehet negatív, tehát az értékkészlet:

É = [0; +∞[

Az értékkészlet nem az, hogy pl pozitív egész számok, hanem az adott függvénynél konkrétan milyen számokat kaphatunk eredményül.

Ponthalmaz

Egy függvény minden (x; y) párhoz pontot rendel a koordináta rendszerben. A ponthalmaz azoknak a pontoknak a halmaza, melyek kielégítik az egyenletet. Példa:

x = 2x + 1 függvény ponthalmaza

G = {(x; y) | y = 2x + 1}

Megoldáshalmaz

Azoknak az ismeretleneknek az értékeit tartalmaz halmaz, melyekre az egyenlet igaz. Példa: x² = 4. Két megoldása van: x₁ = -2 és x₂ = 2
A megoldáshalmaz: M = {-2; 2}

Hatványhalmaz

Vesszük egy halmaz összes lehetséges részhalmazát és ezeket új halmazba gyűjtjük.
Az A halmaz összes részhalmazát az A hatványhalmazának neezzük. Jelölése: P

Példa: A = {1; 2}
Mik a részhalmazai?

• az üres halmaz: ∅

• csak az 1-et tartalmazó halmaz: {1}

• csak a 2-t tartalmazó halmaz: {2}

• maga az A: {1; 2}

Tehát az A hatványhalmaza: P(A) = { ∅; {1}; {2}; {1; 2} }

Itt már látszik egy fontos dolog: A-nak 2 eleme van, a hatványhalmazának pedig 4, azaz 2² eleme lett.

2. példa: B = {a; b; c}. Soroljuk fel a részhalmazait: 

• ∅

• {a}, {b}, {c}

• {a; b}, {a; c}, {b; c}

• {a; b; c} 

P(B) = { ∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c} }
Most a B-nek 3 eleme van, a hatváyhalmazának pedig 8 = 2³ eleme. 

Összefüggés a számossággal

Ha A véges halmaz és |A| = n (A-nak n darab eleme van), akkor a hatványhalmaz elemszáma: |P(A)| = 2ⁿ

Ha szeretnél továbbhaladni a bevezetés a matematika anyagában, itt válogathatsz a leckék között: