Az első leckében megnéztük, mi az a halmaz, mit jelent az, hogy részhalmaz, üres halmaz, hatványhalmaz, intervallum… Most szintet lépünk: jönnek a halmazműveletek.

A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy nem csak egy halmazt nézünk, hanem kettőt (vagy többet), és azt vizsgáljuk, hogyan lehet őket „összekeverni”:

• mik azok az elemek, amelyek legalább az egyikben benne vannak,

• mik azok, amelyek mindkettőben,

• mik maradnak meg, ha az egyiket a másikból „kivonjuk”,

• és mit jelent az, hogy egy halmaz komplementere vagy szimmetrikus különbsége a másikkal.

Ebben a leckében végigmegyünk az alap műveleteken halmazokkal – unió, metszet, különbség, komplementer, szimmetrikus különbség – és mindegyiket:

• megnézzük jelöléssel (A ∪ B, A ∩ B, A \ B…),

• adunk hozzá konkrét példát,

• és Venn-diagrammal is ábrázoljuk, hogy vizuálisan is összeálljon.

A halmazműveletek térképe

A halmazműveleteket nem csak jelekkel (A ∪ B, A ∩ B, A \ B…) lehet leírni, hanem nagyon szépen ábrázolhatjuk őket Venn-diagrammal is. Ez tulajdonképpen egy kis rajz arról, hogy mely elemek hova tartoznak.

Alap elemei:

• egy téglalap: ez jelöli az univerzális halmazt (U), vagyis „minden elemet, ami szóba jöhet”;

• a téglalapon belül körök:

  • az egyik kör az A halmaz,

  • a másik kör a B halmaz,

  • ha átfedik egymást, akkor a közös részük az A ∩ B (metszet),

  • a teljes két kör együtt az A ∪ B (unió).

Amikor halmazműveleteket ábrázolunk, a Venn-diagramon beszínezzük azt a részt, ami az adott kifejezéshez tartozik:

• ha unióról van szó, az A és B összes részét satírozzuk;

• ha metszetről, akkor csak az átfedés középső része lesz színezve;

• ha különbségről, akkor A-nak csak azt a részét satírozzuk, ami nem közös B-vel;

• komplementernél az U téglalap összes olyan részét, ami nem az adott halmazban van.

A Venn-diagram így egy vizuális „térkép” lesz, amelyen könnyen leolvasható, hogy az egyes halmazműveletek mit jelentenek. A későbbi feladatoknál a Venn-diagram nagy segítség: nem csak fejből kell kitalálnod, hogy egy elem benne van-e a kifejezésben (például A ∩ (B \ C)), elég végiggondolni, mely részek színeződnek ki az ábrán.

Tehát ha egy elem benne van A-ban, vagy benne van B-ben, vagy benne van mindkettőben, akkor biztosan benne lesz az A ∪ B unióban.

Példa: A = {1; 2; 3} és B = {3; 4; 5}
A két halmaz uniója: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}

Minden elem, ami A-ban volt és minden elem, ami B-ben volt, egyszer szerepel az unióban. A 3 mind a kettőben volt, de csak egyszer írjuk le. 

Példa2: A = {a; b; c} és B = {d; d} 
A két halmaz uniója: A ∪ B = {a; b; c; d}. Újra, minden ami A-ban és B-ben előfordult, az egyszer belekerül az A ∪ B halmazba.

Venn diagrammon: Bal kör: A, jobb kör: B. Középen fedik egymást. Ha az A ∪ B-t ábrázoljuk, akkor a teljes bal, teljes jobb kört beszínezzük és a középső részt is. 

Az unió tulajdonságai: 

• A ∪ B = B ∪ A  → az unió kommutatív (csereberélheted a sorrendet)

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)  → asszociatív

• A ∪ A = A  → ha önmagaddal veszel uniót, nem lesz „több” elem

• A ∪ ∅ = A  → az üres halmaz nem ad hozzá semmit az unióhoz

Feladat: 

Legyenek a következő halmazok: A = {1; 3; 5; 7} és B = {3; 4; 7; 8}. Mi lesz az A ∪ B = ??

Halmazok metszete A ∩ B

Venn diagram

A szokásos két körös ábra: bal kör: A, jobb kör: B. Haz az A ∩ B-t ábrázoljuk, akkor csak a középső, egymást fedő részt satírozzuk be. Ez jelzi, hogy ide azok az elemek tartoznak, amelyek egyszerre vannak A-ban és B-ben is. 

A metszet tulajdonságai

• A ∩ B = B ∩ A  → a metszet kommutatív

• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)  → asszociatív

• A ∩ A = A  → ha önmagaddal metszenéd, nem lesz kevesebb

• A ∩ ∅ = ∅  → az üres halmaz semmivel sem „metsz” semmit

 Feladat: Szerinted igaz., hogy A ∩ B mindig részhalmaza A ∪ B-nek?

Halmazok különbsége – A \ B

Nézzük sorban az A elemeit:

• 1 → A-ban benne van, B-ben nincs → marad

• 3 → A-ban benne van, B-ben is benne van → kiesik

• 5 → A-ban benne van, B-ben nincs → marad

• 7 → A-ban benne van, B-ben is benne van → kiesik

Tehát: A \ B = {1; 5} Ha a másik irányt nézzük: B\A = {4; 8}. Ebből is látszik, hogy A\B és B\A általában nem ugyanaz. 

• A \ ∅ = A

• A \ A = ∅

• Általában: A \ B ≠ B \ A

Mikor ugyanaz? 

Ha A = B-vel, akkor A\B = ∅ és B\A = ∅

Venn-diagram:

Szokásos két kör: bal kör – A, jobb kör – B. Ha az A\B különbségét ábrázoljuk, akkor csak az A bal oldali részét satírozzuk, a középső, közös részt, az A ∩ B-t nem színezzük és a B külön jobb oldali része sem része az A\B-nek. 

Feladat:

• A = {1; 3; 5; 7}

• B = {3; 4; 7; 8}

Már tudjuk:

• A ∪ B = {1; 3; 4; 5; 7; 8}

• A ∩ B = {3; 7}

• A \ B = {1; 5}

A kérdés: mi a B\A?

Komplementer – Ᾱ

Példa: legyen most U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
és

• A = {1; 3; 5; 7}

A komplementere (Ᾱ):

U-ban: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
A-ban: 1; 3; 5; 7. Ami U-ban van, de A-ban nincs: 2; 4; 6; 8
Ᾱ = {2 ;4; 6; 8}

Venn-diagram

Téglalap = U
Kör = A

Ha a komplementert ábrázolod, akkor az A körön kivüli részt színezd be a téglalapban, a kör belseje nincs beszínezve. Ez mutatja, hogy minden, ami nem A. 

Tulajdonságai: 

• Ᾱ̄ = A  → ha kétszer veszel komplementert, visszajutsz A-hoz

• ∅̄ = U  → az üres halmaz komplementere az egész univerzum

• Ū = ∅  → az univerzum komplementere az üres halmaz

• A ∪ Ᾱ = U

• A ∩ Ᾱ = ∅

Feladat:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {2; 4; 6}

Szerinted mi Ᾱ ebben az univerzumban?

Szimmetrikus különbség – A △ B

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = {1; 5} ∪ {4; 8} = {1; 4; 5; 8}

Venn-diagram

Két kör (A és B), a középső átfedés nincs beszínezve, csak a két félhold rész: Az A bal oldali része (A\B) és a B jobb oldali része (B\A). Ez mutatja, hogy csak ami az egyikben van, de nem közös. 

Tulajdonságai: 

1. Kommutatív: A △ B = B △ A. Teljesen mindegy, melyik oldalra írod az A-t és a B-t
2. Asszociatív: (A △ B) △ C = A △ (B △ C)
3. Az üres halmaz nem változtat semmin: A △ ∅ = A
4. Inverz önmagával: A △ A = ∅. Ha egy halmazt saját magával teszed szimmetrikus különbségbe, akkor minden közös, tehát minden kiesik. 
5. Kapcsolata az unióval és a metszettel: A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Összefoglaló feladat

Legyen az univerzális halmaz:
U={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
A = {1; 3; 4; 7}
B = {2; 3; 5; 7}
Számítsd ki az alábbi halmazokat:

1. A ∪ B
2. A ∩ B
3. A \ B
4. B \ A
5. Ā (A komplementere U-ban)
6. B̄ (B komplementere U-ban)
7. A △ B (A és B szimmetrikus különbsége)

• Bónusz kérdés:
  Igaz-e, hogy (A ∩ B) ⊆ (A ∪ B)? Indokold röviden!