Ezeket a szabályokat használjuk arra, hogy:

• bonyolult halmazkifejezéseket egyszerűbbre alakítsunk,

• vagy bizonyítsuk, hogy két halmazkifejezés ugyanazt jelenti. Végigmegyünk a legfontosabb halmazazonosságokon, mindegyikhez adunk hétköznapi magyarázatot, konkrét kis elemszámú példát és ha kell, Venn-diagramot is, hogy vizuálisan is összeálljon. 

A cél az, hogy a „halmazazonosságok” ne egy bemagolandó lista legyen, hanem egy eszköztár, amit magabiztosan tudsz használni példákban és a vizsgán is.

Matematikai értelemben

Egy művelet idempotens, ha bármely elemre igaz, hogy a ∘ a = a.
Vagyis ha önmagával elvégzel egy műveletet, akkor az eredmény ugyanaz marad. Nekünk halmazszinten annyi kell most belőle, hogy A ∩ A = A és A ∪ A = A

A metszet és az unió is idempontens művelet, mert ha egy halmazt saját magával metszel, nem lesz kevesebb vagy több, ugyanaz marad. 
Ha egy halmazt saját magával veszel unióba, nem kapsz új elemet, ugyanaz marad. 

Példa: A = {1; 2; 3}

• A ∩ A = {1; 2; 3} = A

• A ∪ A = {1; 2; 3} = A

A metszetben csak olyan elem maradhat, ami mindkét oldalon benne van – ha a két oldal ugyanaz, akkor minden elemet „visszakapunk”;

Az unióba minden elem bekerül, ami bármelyik oldalon benne van – ha mindkét oldalon ugyanazok vannak, akkor sincs több.

Ezt hívják idempotencia tételnek halmazműveletekre:
A ∩ A = A
A ∪ A = A

Idempotencia az informatikában

Ugyanezt a gondolatot viszik tovább az infóban is: Egy művelet/idempotens API-hívás → ha többször lefuttatod, ugyanaz az eredmény, mintha egyszer futtattad volna.

Halmazazonosságok: Kommutativitás

Kommutativitás a halmazoknál

A halmazműveleteknél két fontos művelet is kommutatív: 
1. a metszet: A ∩ B = B ∩ A
Ami A-nak és B-nek közös eleme, az akkor is ugyanaz, ha A ∩ B-t írunk vagy B ∩ A-t.

2. Unió: A ∪ B = B ∪ A
Mindegy, hogy ha összerakod A és B elemeit, melyiket írod le, ugyanaz lesz a végeredmény. 

Konkrét példa:

A = {1; 2; 3}
B = {3; 4}

• Metszet:

  • A ∩ B = {3}

  • B ∩ A = {3}

• Unió:

  • A ∪ B = {1; 2; 3; 4}

  • B ∪ A = {1; 2; 3; 4}

Mindkét esetben ugyanarra a halmazra jutunk, hiába cseréljük fel A-t és B-t → ezért mondjuk, hogy az unió és a metszet kommutatív műveletek.

Halmazazonosságok: Asszociativitás

Asszociativitás halmazoknál 

Halmazműveleteknél is van két alap azonosság: az unió és a metszet asszociatív. Formálisan: 

• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Ha több halmazt metszenél / egyesítenél, mindegy, melyik kettőt fogod össze először, a végeredmény ugyanaz lesz. 

Példa: 

Legyen:

• A = {1; 2; 3}

• B = {2; 3; 4}

• C = {3; 4; 5}

Metszet:

Bal oldal:

• A ∩ B = {2; 3}

• (A ∩ B) ∩ C = {2; 3} ∩ {3; 4; 5} = {3}

Jobb oldal:

• B ∩ C = {3; 4}

• A ∩ (B ∩ C) = {1; 2; 3} ∩ {3; 4} = {3}

Mindkét oldalon {3} → a metszet asszociatív.

Mit nyerünk ezzel?

Ha sok halmaz szerepel egy kifejezésben, az asszociativitás azt mondja:

• nem kell a zárójeleken parázni,

• nyugodtan átírhatod úgy, ahogy áttekinthetőbb,

• a végeredmény nem fog megváltozni.

Ez a vizsgákon azért jó, mert egy bonyolult kifejezést át tudsz rendezni egy „szebb”, könnyebben kezelhető formára.

Feladat: 

Legyenek:

• A = {1; 2}

• B = {2; 3}

• C = {2; 3; 4}

Számold ki gyorsan fejben (vagy leírva):
(A ∪ B) ∪ C
A ∪ (B ∪ C)

Halmazazonosságok: Abszorpció

(A ∪ B) ∩ A = A 

(A ∪ B) minden, ami A-ban vagy B-ben benne van. Aztán ∩ A, azaz ebből megtartjuk csak azokat, amik A-ban is benne vannak, így csak azok maradnak, amik A-s elemek, azaz maga az A.  

Példa: 

A = {1; 2; 3}
B = {2; 4}

A ∪ B = {1; 2; 3; 4}
(A ∪ B) ∩ A = {1; 2; 3; 4} ∩ {1; 2; 3} = {1; 2; 3} = A

(A ∩ B) ∪ A = A

(A ∩ B): csak azok, amik mind a kettőben benne vannak. Aztán ∪ A: ezt egyesítjük A-val. De az A metszet B elemei már eleve A-ban vannak, hiszen közösek. Tehát, amikor uniót veszel A-val, nem kapsz új elemet, csak A marad. 

Példa:

A = {1; 2; 3}
B = {2; 3; 4}

A ∩ B = {2; 3}
(A ∩ B) ∪ A = {2; 3} ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3} = A

Ezért mondjuk, hogy A „elnyeli” B-t: ha A már benne van a kifejezésben, a másik halmaz nem tudja kimozdítani.

Feladat:

Legyen:

• A = {1; 2}

• B = {2; 3; 4}

Számold ki:

$(A ∩ B) ∪ A = ?$

Halmazazonosságok: disztributivitás

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Olvasat – bal oldal:

• A ∪ B – minden, ami A-ban vagy B-ben benne van;

• utána ∩ C – ebből megtartjuk azokat, amik C-ben is benne vannak.

Olvasat – jobb oldal: 

• A ∩ C – elemek, amik A-ban is és C-ben is benne vannak;

• B ∩ C – elemek, amik B-ben is és C-ben is benne vannak;

• ezek uniója: (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) – azok, amik A-val és C-vel közösek, vagy B-vel és C-vel közösek

Ugyanazt mondjuk kétféleképpen: 
1. először egyesítem A-t és B-t, majd lemetszem C-vel
2. C-vel külön-külön metszem A-t és B-t, aztán ami kijött azt egyesítem. 

Legyen: 

• A = {1; 2; 3}

• B = {2; 4}

• C = {2; 3; 5}

Bal oldal:

• A ∪ B = {1; 2; 3; 4}

• (A ∪ B) ∩ C = {1; 2; 3; 4} ∩ {2; 3; 5} = {2; 3}

Jobb oldal:

• A ∩ C = {1; 2; 3} ∩ {2; 3; 5} = {2; 3}

• B ∩ C = {2; 4} ∩ {2; 3; 5} = {2}

• (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = {2; 3} ∪ {2} = {2; 3}

Mindkét oldalon {2; 3} → az azonosság működik.

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Itt az unió szétosztható a metszett felett. 

Olvasat – bal oldal 

• A ∩ B – közös elemek A-ban és B-ben;

• utána ∪ C – ehhez hozzáadjuk C minden elemét.

Olvasat – jobb oldal

• A ∪ C – ami A-ban vagy C-ben van;

• B ∪ C – ami B-ben vagy C-ben van;

• ezek metszete: (A ∪ C) ∩ (B ∪ C): ami mindkettőben szerepel.

Konkrét példa: 

A = {1; 2; 3}
B = {2; 4}
C = {2; 3; 5}

Bal oldal:

• A ∩ B = {2}

• (A ∩ B) ∪ C = {2} ∪ {2; 3; 5} = {2; 3; 5}

Jobb oldal:

• A ∪ C = {1; 2; 3; 5}

• B ∪ C = {2; 3; 4; 5}

• (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = {1; 2; 3; 5} ∩ {2; 3; 4; 5} = {2; 3; 5}

Megint ugyanaz a halmaz → az unió is disztributív a metszet felett.

Feladat: 

Legyenek:

• A = {1; 2}

• B = {2; 3}

• C = {2; 4}

 Számold ki: (A∪B)∩C, majd (A∩C)∪(B∩C). Egyenlőek?