Amikor leírsz egy számot, például 123.21, a számjegyek nem véletlenül kerülnek a helyükre. Minden egyes számjegy helyiértéke attól függ, milyen messze van a tizedesvesszőtől, és melyik irányban helyezkedik el.

Az alap azt jelenti, melyik számrendszert használjuk. A tizes számrendszerben az alap a 10, a kettesben a 2, nyolcasban a 8, tizenhatosban a 16. Tehát az alapja annak a számrendszernek, amiben éppen dolgozunk- ez az a szám, amiből a helyiértékek hatványai épülnek. 

A 123₁₀ azt jelenti:
1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰

Itt a 10 a számrendszer alapja, és minden számjegy ennek a hatványaival van megszorozva. Ha kettes számrendszert használunk:

101₍₂₎ = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰

Itt az alap a 2, tehát mindig a 2-nek a hatványai szerepelnek. Jelölése a p, például: p = 10

aₘ Amikor egy számot leírunk, például 123,21, az a tizedesvesszőig az egészrészt, utána pedig a törtrészt jelenti.
Mindkettő ugyanarra a szabályra épül: helyiérték + hatvány.

A különbség csak annyi, hogy a tizedesvessző bal oldalán a hatványok pozitívak,
jobb oldalon pedig negatívak lesznek.

Általános forma:

Egy szám általánosan így írható fel:

$$V = a_n a_{n-1} a_{n-2} … a_1 a_0 . a_{-1} a_{-2} … a_{-m}$$

 ahol:

• az egészrész: aₙ … a₀​​​
• a törtrész: a₋₁ … aₘ ​

Példa: 123,21 = 1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰ + 2×10⁻¹ + 1×10⁻²

Általános felírás bármely p alapú számrendszerben

A helyiérték-szabály nemcsak a tízes számrendszerben működik.
Általánosan így írjuk fel:

$$V=\sum _{i=-m}^n{a}_i\times p^i$$

ahol:

• p = a számrendszer alapja (pl. 10, 2, 16…)

• aᵢ = az adott számjegy

• i = a helyiértékhez tartozó kitevő (pozitív vagy negatív)

• V = a szám decimális értéke, amit végül ki tudunk számolni

• ∑ = add össze az összes ilyen tagot, amíg az i az alsó értéktől a felsőig változik. Az olyan, mintha azt mondanánk: kezdd az i = -m értéknél és haladj az i = n-ig, minden lépésben számolj ki egy aᵢ × pⁱ szorzatot, majd add össze az összeset. Az n tehát a legnagyobb helyiérték, a -m pedig a legkisebb

Definíció: Egy szám (V) értéke mindig az egyes számjegyek (aᵢ) és a számjegyek alapjának (p) hatványainak a szorzatából áll össze. 

Nézzük meg a képlet működését, legyen a számunk: 432,15

Ebben az esetben:
n = 2, mert a legnagyobb hatvány a 10²
m = 2, mert két tizedes hely van (tizedek és századok)

Ha összeadjuk: V= 400 + 30 + 2 + 0,1 + 0,05 = 432,15

Ugyanez a képlet bináris számrendszerben

Szám: 101,1₂
p = 2
n = 2
m = 1

Eremény: V = 4 + 0 + 1 + 0,5 = 5,5, azaz 101,1₂ = 5.5₁₀

Példa hexadecimális számrendszerben (p = 16)

Szám: 2A.4₁₆ (az A = 10 a hexadecimális rendszerben)
p = 16
n = 1
m = 1

a₁ = 2, a₀ = 10, a₋₁ = 4

V = 32 + 10 + 0,25 = 42,25

Eredmény: 2A.4₁₆ = 42.25₁₀

Minden szám mögött ott a logika

A számok világa elsőre kaotikusnak tűnhet, de valójában minden számjegy a helyiérték szabályát követi.
A tizedesvessző csak egy határvonal: balra a hatványok nőnek, jobbra pedig negatív kitevőkké válnak.

💡 Akár 10-es, 2-es vagy 16-os rendszerben számolunk, a képlet ugyanaz:

$$V = \sum_{i=-m}^{n} a_i \times p^i$$

A különbség csak az alapban van – a p értékében.